Resolución ejercicio 8 de Práctica 8: Teorema de Taylor de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Gutierrez (Única)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC

CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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8. Los polinomios de Taylor de orden 4 en $x=2$ de las funciones $f$ y $g$ son, respectivamente $p(x)=-2+3(x-2)-3(x-2)^{2}+(x-2)^{3}$ y $q(x)=5+12(x-2)^{2}-7(x-2)^{4}$. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)=f(x)g(x)$ y $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ en $x=2$.

Respuesta

✅ $t(x)=f(x)g(x)$

En este caso tenemos que construir el polinomio de Taylor de orden $2$ de esta función $t$ centrado en $x=2$. Entonces, lo primero que hacemos para acomodar la situación es armarnos la estructura del polinomio de Taylor que necesitamos, que es esta:

$ p(x) = t(2) + t'(2)(x - 2) + \frac{t''(2)}{2!}(x - 2)^2 $

O sea, la clave va a estar en encontrar $t(2)$, $t'(2)$ y $t''(2)$

Para eso vamos a necesitar información de cuánto vale $f$ y $g$, y sus derivadas, en $x=2$. Y esa información la vamos a obtener de sus polinomios de Taylor, que me los da el enunciado:

Para $f$ tenemos:

$ f(2) = p(2) = -2 $ $ f'(2) = p'(2) = 3 $

$ f''(2) = p''(2) = -6 $

$ f'''(2) = p'''(2) = 6 $

$ f^{4}(2) = p^{4}(2) = 0 $

Y para la función $g$ tenemos esta información:

$ g(2) = 5 $ $ g'(2) = 0 $ $ g''(2) = 24 $ $ g'''(2) = 0 $

$g^{(4)}(2) = -168$

Perfecto, ya tenemos todos los ingredientes que necesitamos, empezamos:

👉 $t(2)$

$t(x)=f(x)g(x)$

$t(2)=f(2)g(2) = -2 \cdot 5 = -10$

👉 $t'(2)$

Derivamos $t$ usando regla del producto

$ t'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $

$ t'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 = 15 $

👉 $t''(2)$

Atenti, cada sumando lo derivamos de nuevo usando regla del producto. Te termina quedando:

$ t''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) $

$ t''(2) = f''(2)g(2) + 2f'(2)g'(2) + f(2)g''(2) = (-6) \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 24 = -30 - 48 = -78 $

Juntando todo nos queda:

$ p(x) = -10 + 15(x - 2) - 39(x - 2)^2 $

Vamos ahora con la segunda parte de este Ejercicio...

✅ $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

La idea para resolverlo es similar al anterior. El polinomio de Taylor que estamos buscando es:

$ p(x) = s(2) + s'(2)(x - 2) + \frac{s''(2)}{2!}(x - 2)^2$

Entonces, arrancamos:

👉 $s(2)$

$s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

$s(2)=\frac{f(2)}{g(2)} = -\frac{2}{5}$

👉 $s'(2)$

Derivamos usando regla del cociente:

$ s'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} $ Evaluando en $ x = 2 $: $ s'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{3 \cdot 5 - (-2) \cdot 0}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} $

👉 $s''(2)$

Volvemos a usar regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar "el primero", ahí vas a tener que usar regla del producto!

$ s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x))]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} $

Distribuimos ese signo $-$ en el numerador:

$ s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - f'(x)g'(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} $

Fijate que ahí en el numerador nos quedaron dos términos que dan cero, así que nos termina quedando:

$ s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} $

Si ahora evaluamos en $x=2$ y no me confundí en ninguna cuenta, nos queda:

$ s''(2) = \frac{18}{25} $

Entonces, reemplazando en nuestro Taylor nos queda:

$ p_s(x) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5}(x - 2) + \frac{18}{50}(x - 2)^2 $

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Luca 14 de junio 18:21

hola! al final el polinomio de taylor no quedaría -2/5+3/5+9/25?? obviando todo lo de las X digo. o sea, el último me quedó 9/25, no 18/50. porque sería 18/25 dividido 2! o sea 18/25 dividido 2, y eso me da 9/25, no 18/50. o qué estoy haciendo mal?

Flor Profesor 15 de junio 19:06

@Luca Hola Luca! Esta perfecto también! $\frac{18}{50}$ lo podés simplificar y te queda $\frac{9}{25}$, son exactamente el mismo número ambos :)

Yo no me dí cuenta de simplificarlo, pero podría haberlo hecho tranquilamente, y si lo escribis de cualquiera de las dos maneras está bien ;)

Buen findeee

Luca 15 de junio 19:08

@Flor sisi perdón por la pregunta tonta jajajja al rato me di cuenta de que eran el mismo número simplificado, tanto número me quemó la cabeza y no me di cuenta de esa pavada ajajaj graciass, buen finde para vos también!

Caro 4 de junio 00:02

Holi Flor, cómo estás?

Te cuento que tuve problemas intentando de derivar s''(x), creo que fue porque no puse 2g(x), pero no sé muy bien de donde sale ese término :(

Flor Profesor 4 de junio 08:36

@Caro Hola Caro! El $2g(x)g'(x)$ salió de cuando tocó hacer la derivada de $(g(x))^2$ (que en el segundo renglón vos de hecho pusiste que había que derivarlo, pero en el siguiente no hiciste esa derivada y arrastraste escrito igual)

Tranqui igual Caro con este ejercicio que es particularmente muuuuy cuentoso y no es representativo de los ejercicios de Taylor que después aparecen en el parcial

Caro 4 de junio 18:56

@Flor AH CON RAZÓN, gracias Flor tkm <3

Luz 22 de octubre 16:45

hola flor! tengo una duda, en esta parte no se distribuye tambien el signo menos? a mi me dio S(x)= 87/125 :C

Flor Profesor 22 de octubre 18:01

@Luz Hola Luz! Siii, también podríamos haber hecho esa distributiva y te debería dar lo mismo... pero posta, tranqui con este ejercicio, hay altísimas chances de tener un error de cuenta cuando reemplazas, yo ni me estresaría si no te dio y seguiría avanzando! :)

Josefina 8 de junio 18:02

Hola flor no estaría entendiendo al momento de plantear (s prima prima) de donde sale la parte que está en verde

Flor Profesor 9 de junio 08:40

@Josefina Hola Josefina! Eso ya aparecía en el renglón de arriba, sale de cuando hacés la regla del cociente, es "el segundo (el denominador) derivado" por "el primero (el numerador) sin derivar"

Fijate que la derivada de $(g(x))^2$ la tenés que hacer usando regla de la cadena, por eso te queda: $2 g(x) \cdot g'(x)$

Se ve?

Igual no te vuelvas loca con este problema, que en esa parte ya se torna muuuuy cuentoso (los de parciales tranqui que no son así)

Josefina 9 de junio 16:27

gracias flor! :)

Maggui 5 de junio 19:30

ay perdon estoy hace como 20 minutos tratando de que la derivada de s''(x) me quede como a vos y me sale cualquiera

Flor Profesor 5 de junio 20:09

@Maggui Hola Maggi! Tranqui, ni te estreses con este ejercicio que es muy cuentoso y al pepe jaja... igual ahora voy a editarlo y agregar el paso intermedio en esa derivada, así no genera dudas

Rocío 5 de junio 19:17

Hola Flor, puede ser q en s''(x), en el primer término vaya un "+" en vez de un "-"? 2024-06-05%2019:17:02_9492729.png

Me refiero a esta parte

Flor Profesor 5 de junio 20:08

@Rocío Hola Rocio! Yo ahí me saltee una parte, o sea puse el resultado que obtuve después de que se me simplifiquen algunos términos... Voy a agregar ahora el paso intermedio porque veo que genera dudas, pero porfa ni se estresen con este ejercicio que es super cuentoso al pepe jajaja xD

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