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@Josefina Hola Josefina! Eso ya aparecía en el renglón de arriba, sale de cuando hacés la regla del cociente, es "el segundo (el denominador) derivado" por "el primero (el numerador) sin derivar"
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gracias flor! :)
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@Maggui Hola Maggi! Tranqui, ni te estreses con este ejercicio que es muy cuentoso y al pepe jaja... igual ahora voy a editarlo y agregar el paso intermedio en esa derivada, así no genera dudas
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@Rocío Hola Rocio! Yo ahí me saltee una parte, o sea puse el resultado que obtuve después de que se me simplifiquen algunos términos... Voy a agregar ahora el paso intermedio porque veo que genera dudas, pero porfa ni se estresen con este ejercicio que es super cuentoso al pepe jajaja xD
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8. Los polinomios de Taylor de orden 4 en $x=2$ de las funciones $f$ y $g$ son, respectivamente $p(x)=-2+3(x-2)-3(x-2)^{2}+(x-2)^{3}$ y $q(x)=5+12(x-2)^{2}-7(x-2)^{4}$. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de $t(x)=f(x)g(x)$ y $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ en $x=2$.
Respuesta
✅ $t(x)=f(x)g(x)$
En este caso tenemos que construir el polinomio de Taylor de orden $2$ de esta función $t$ centrado en $x=2$. Entonces, lo primero que hacemos para acomodar la situación es armarnos la estructura del polinomio de Taylor que necesitamos, que es esta:
$ p(x) = t(2) + t'(2)(x - 2) + \frac{t''(2)}{2!}(x - 2)^2 $
O sea, la clave va a estar en encontrar $t(2)$, $t'(2)$ y $t''(2)$
Para eso vamos a necesitar información de cuánto vale $f$ y $g$, y sus derivadas, en $x=2$. Y esa información la vamos a obtener de sus polinomios de Taylor, que me los da el enunciado:
Para $f$ tenemos:
\( f(2) = p(2) = -2 \)
\( f'(2) = p'(2) = 3 \)
\( f''(2) = p''(2) = -6 \)
\( f'''(2) = p'''(2) = 6 \)
\( f^{4}(2) = p^{4}(2) = 0 \)
Y para la función $g$ tenemos esta información:
\( g(2) = 5 \)
\( g'(2) = 0 \)
\( g''(2) = 24 \)
\( g'''(2) = 0 \)
$g^{(4)}(2) = -168$
Perfecto, ya tenemos todos los ingredientes que necesitamos, empezamos:
👉 $t(2)$
$t(x)=f(x)g(x)$
$t(2)=f(2)g(2) = -2 \cdot 5 = -10$
👉 $t'(2)$
Derivamos $t$ usando regla del producto
\( t'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
\( t'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 = 15 \)
👉 $t''(2)$
Atenti, cada sumando lo derivamos de nuevo usando regla del producto. Te termina quedando:
\( t''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x) \)
\( t''(2) = f''(2)g(2) + 2f'(2)g'(2) + f(2)g''(2) = (-6) \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 24 = -30 - 48 = -78 \)
Juntando todo nos queda:
$ p(x) = -10 + 15(x - 2) - 39(x - 2)^2 $
Vamos ahora con la segunda parte de este Ejercicio...
✅ $s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
La idea para resolverlo es similar al anterior. El polinomio de Taylor que estamos buscando es:
$ p(x) = s(2) + s'(2)(x - 2) + \frac{s''(2)}{2!}(x - 2)^2$
Entonces, arrancamos:
👉 $s(2)$
$s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$
$s(2)=\frac{f(2)}{g(2)} = -\frac{2}{5}$
👉 $s'(2)$
Derivamos usando regla del cociente:
\( s'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \)
Evaluando en \( x = 2 \):
\( s'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{3 \cdot 5 - (-2) \cdot 0}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} \)
👉 $s''(2)$
Volvemos a usar regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar "el primero", ahí vas a tener que usar regla del producto!
\( s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x))]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} \)
Distribuimos ese signo $-$ en el numerador:
\( s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - f'(x)g'(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} \)
Fijate que ahí en el numerador nos quedaron dos términos que dan cero, así que nos termina quedando:
\( s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4} \)
Si ahora evaluamos en $x=2$ y no me confundí en ninguna cuenta, nos queda:
\( s''(2) = \frac{18}{25} \)
Entonces, reemplazando en nuestro Taylor nos queda:
\( p_s(x) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5}(x - 2) + \frac{18}{50}(x - 2)^2 \)
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Josefina
8 de junio 18:02
Hola flor no estaría entendiendo al momento de plantear (s prima prima) de donde sale la parte que está en verde
Flor
PROFE
9 de junio 8:40
Fijate que la derivada de $(g(x))^2$ la tenés que hacer usando regla de la cadena, por eso te queda: $2 g(x) \cdot g'(x)$
Se ve?
Igual no te vuelvas loca con este problema, que en esa parte ya se torna muuuuy cuentoso (los de parciales tranqui que no son así)
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Josefina
9 de junio 16:27
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Maggui
5 de junio 19:30
ay perdon estoy hace como 20 minutos tratando de que la derivada de s''(x) me quede como a vos y me sale cualquiera
Flor
PROFE
5 de junio 20:09
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Rocío
5 de junio 19:17
Hola Flor, puede ser q en s''(x), en el primer término vaya un "+" en vez de un "-"?
Me refiero a esta parte
Flor
PROFE
5 de junio 20:08
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