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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

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8. Los polinomios de Taylor de orden 4 en x=2x=2 de las funciones ff y gg son, respectivamente p(x)=−2+3(x−2)−3(x−2)2+(x−2)3p(x)=-2+3(x-2)-3(x-2)^{2}+(x-2)^{3} y q(x)=5+12(x−2)2−7(x−2)4q(x)=5+12(x-2)^{2}-7(x-2)^{4}. Halle el polinomio de Taylor de orden 2 de t(x)=f(x)g(x)t(x)=f(x)g(x) y s(x)=f(x)g(x)s(x)=\frac{f(x)}{g(x)} en x=2x=2.

Respuesta

✅ t(x)=f(x)g(x)t(x)=f(x)g(x)

En este caso tenemos que construir el polinomio de Taylor de orden 22 de esta función tt centrado en x=2x=2. Entonces, lo primero que hacemos para acomodar la situación es armarnos la estructura del polinomio de Taylor que necesitamos, que es esta:

p(x)=t(2)+t′(2)(x−2)+t′′(2)2!(x−2)2 p(x) = t(2) + t'(2)(x - 2) + \frac{t''(2)}{2!}(x - 2)^2

O sea, la clave va a estar en encontrar t(2)t(2), t′(2)t'(2) y t′′(2)t''(2)

Para eso vamos a necesitar información de cuánto vale ff y gg, y sus derivadas, en x=2x=2. Y esa información la vamos a obtener de sus polinomios de Taylor, que me los da el enunciado:

Para ff tenemos:

f(2)=p(2)=−2 f(2) = p(2) = -2 f′(2)= p′(2)= 3 f'(2) = p'(2) = 3
f′′(2)= p′′(2)= −6 f''(2) = p''(2) =  -6
f′′′(2)= p′′′(2)= 6 f'''(2) = p'''(2) = 6

f4(2)= p4(2)= 0 f^{4}(2) = p^{4}(2) = 0

Y para la función gg tenemos esta información:

g(2)=5 g(2) = 5 g′(2)=0 g'(2) = 0   g′′(2)=24 g''(2) = 24 g′′′(2)=0 g'''(2) = 0  

g(4)(2)=−168g^{(4)}(2) = -168

Perfecto, ya tenemos todos los ingredientes que necesitamos, empezamos:

👉 t(2)t(2)

t(x)=f(x)g(x)t(x)=f(x)g(x)

t(2)=f(2)g(2)=−2⋅5=−10t(2)=f(2)g(2) = -2 \cdot 5 = -10

👉 t′(2)t'(2)

Derivamos tt usando regla del producto

t′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) t'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

t′(2)=f′(2)g(2)+f(2)g′(2)= 3⋅5+(−2)⋅0=15  t'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = 3 \cdot 5 + (-2) \cdot 0 = 15 

👉 t′′(2)t''(2)

Atenti, cada sumando lo derivamos de nuevo usando regla del producto. Te termina quedando:

t′′(x)=f′′(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g′′(x) t''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)

t′′(2)=f′′(2)g(2)+2f′(2)g′(2)+f(2)g′′(2)=(−6)⋅5+2⋅3⋅0+(−2)⋅24=−30−48=−78 t''(2) = f''(2)g(2) + 2f'(2)g'(2) + f(2)g''(2) = (-6) \cdot 5 + 2 \cdot 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 24 = -30 - 48 = -78

Juntando todo nos queda:

p(x)=−10+15(x−2)−39(x−2)2 p(x) = -10 + 15(x - 2) - 39(x - 2)^2

Vamos ahora con la segunda parte de este Ejercicio...

✅ s(x)=f(x)g(x)s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

La idea para resolverlo es similar al anterior. El polinomio de Taylor que estamos buscando es:

p(x)=s(2)+s′(2)(x−2)+s′′(2)2!(x−2)2 p(x) = s(2) + s'(2)(x - 2) + \frac{s''(2)}{2!}(x - 2)^2

Entonces, arrancamos:

👉 s(2)s(2)

s(x)=f(x)g(x)s(x)=\frac{f(x)}{g(x)}

s(2)=f(2)g(2)=−25s(2)=\frac{f(2)}{g(2)} = -\frac{2}{5}

👉 s′(2)s'(2)

Derivamos usando regla del cociente:

s′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g(x)2 s'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} Evaluando en x=2 x = 2 : s′(2)=f′(2)g(2)−f(2)g′(2)g(2)2=3⋅5−(−2)⋅052=1525=35 s'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{3 \cdot 5 - (-2) \cdot 0}{5^2} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}

👉 s′′(2)s''(2)

Volvemos a usar regla del cociente, pero atenti cuando te toque derivar "el primero", ahí vas a tener que usar regla del producto!

s′′(x)=[f′′(x)g(x)+f′(x)g′(x)−(f′(x)g′(x)+f(x)g′′(x))]g(x)2−2g(x)g′(x)[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)]g(x)4 s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - (f'(x)g'(x) + f(x)g''(x))]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4}

Distribuimos ese signo −- en el numerador:

s′′(x)=[f′′(x)g(x)+f′(x)g′(x)−f′(x)g′(x)−f(x)g′′(x)]g(x)2−2g(x)g′(x)[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)]g(x)4 s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) + f'(x)g'(x) - f'(x)g'(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4}

Fijate que ahí en el numerador nos quedaron dos términos que dan cero, así que nos termina quedando:

s′′(x)=[f′′(x)g(x)−f(x)g′′(x)]g(x)2−2g(x)g′(x)[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)]g(x)4 s''(x) = \frac{[f''(x)g(x) - f(x)g''(x)]g(x)^2 - 2g(x)g'(x)[f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]}{g(x)^4}

Si ahora evaluamos en x=2x=2 y no me confundí en ninguna cuenta, nos queda:

s′′(2)=1825 s''(2) = \frac{18}{25}

Entonces, reemplazando en nuestro Taylor nos queda:

ps(x)=−25+35(x−2)+1850(x−2)2 p_s(x) = -\frac{2}{5} + \frac{3}{5}(x - 2) + \frac{18}{50}(x - 2)^2
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Luz
22 de octubre 16:45
hola flor! tengo una duda, en esta parte no se distribuye tambien el signo menos? a mi me dio S(x)= 87/125 :C
2024-10-22%2016:43:13_2208702.png
0 Responder
Flor
PROFE
22 de octubre 18:01
@Luz Hola Luz! Siii, también podríamos haber hecho esa distributiva y te debería dar lo mismo... pero posta, tranqui con este ejercicio, hay altísimas chances de tener un error de cuenta cuando reemplazas, yo ni me estresaría si no te dio y seguiría avanzando! :)
1 Responder
Josefina
8 de junio 18:02
2024-06-08%2018:01:18_4219807.png
Hola flor no estaría entendiendo al momento de plantear (s prima prima) de donde sale la parte que está en verde
0 Responder
Flor
PROFE
9 de junio 8:40
@Josefina Hola Josefina! Eso ya aparecía en el renglón de arriba, sale de cuando hacés la regla del cociente, es "el segundo (el denominador) derivado" por "el primero (el numerador) sin derivar" 

Fijate que la derivada de (g(x))2(g(x))^2 la tenés que hacer usando regla de la cadena, por eso te queda: 2g(x)⋅g′(x)2 g(x) \cdot g'(x)

Se ve?

Igual no te vuelvas loca con este problema, que en esa parte ya se torna muuuuy cuentoso (los de parciales tranqui que no son así)
0 Responder
Josefina
9 de junio 16:27
gracias flor! :)
0 Responder
Maggui
5 de junio 19:30
ay perdon estoy hace como 20 minutos tratando de que la derivada de s''(x) me quede como a vos y me sale cualquiera
0 Responder
Flor
PROFE
5 de junio 20:09
@Maggui Hola Maggi! Tranqui, ni te estreses con este ejercicio que es muy cuentoso y al pepe jaja... igual ahora voy a editarlo y agregar el paso intermedio en esa derivada, así no genera dudas
0 Responder
Rocío
5 de junio 19:17
Hola Flor, puede ser q en s''(x), en el primer término vaya un "+" en vez de un "-"?2024-06-05%2019:17:02_9492729.png
Me refiero a esta parte
0 Responder
Flor
PROFE
5 de junio 20:08
@Rocío Hola Rocio! Yo ahí me saltee una parte, o sea puse el resultado que obtuve después de que se me simplifiquen algunos términos... Voy a agregar ahora el paso intermedio porque veo que genera dudas, pero porfa ni se estresen con este ejercicio que es super cuentoso al pepe jajaja xD 
0 Responder